απροσδιόριστη ανάλυση

Ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με την έρευνα των ακέραιων λύσεων ενός αλγεβρικού συστήματος από μία ή περισσότερες εξισώσεις με ακέραιους συντελεστές. Πολλά πρακτικά ζητήματα οδηγούν σε προβλήματα α.α. και αυτός είναι o λόγος που τα πρώτα σπέρματα του κλάδου φτάνουν έως και την ανατολή της μαθηματικής επιστήμης. Για επιβεβαίωση αναφέρουμε το «πρόβλημα των εκατό πτηνών», που βρίσκεται στο βιβλίο Κλασική Αριθμητική του Κινέζου μαθηματικού Τσαγκ Τσιν Σουάντσιγκ (6ος αι. μ.Χ.). Το πρόβλημα αυτό είναι το εξής: «ένας γάλος στοιχίζει 5 νομίσματα, μία κότα 3, ενώ 3 κοτόπουλα στοιχίζουν ένα νόμισμα. Με εκατό νομίσματα αγοράστηκαν εκατό πουλιά (γάλοι, κότες και κοτόπουλα)·πόσα αγοράστηκαν από κάθε είδος;» Πρόκειται για ένα πρόβλημα α.α. ισοδύναμο με την αναζήτηση των ακεραίων και θετικών λύσεων του συστήματος: Το πρόβλημα αυτό δέχεται τις εξής τρεις λύσεις: (4, 18, 78), (8, 11, 81), (12, 4, 84). Οι Πυθαγόρειοι (6ος αι. π.Χ.) ασχολήθηκαν με την α.α. και γνώριζαν να ορίζουν όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης που δίνονται ακριβώς από τους τύπους: όπου οι u, v είναι αυθαίρετοι ακέραιοι, πρόβλημα ισοδύναμο με τον ορισμό των πλευρών όλων των ορθογώνιων τριγώνων με πλευρές που μετρούνται από ακέραιους αριθμούς. Ανάλογα προβλήματα απαντώνται και στην αραβική μαθηματική βιβλιογραφία του 9ου αι. μ.Χ. Ο πρώτος μαθηματικός που μελέτησε συστηματικά την α.α. υπήρξε o Διόφαντος (2oς αι. μ.Χ.), από τον οποίο ονομάστηκε και Διοφαντική ανάλυση. Αξίζει να σημειώσουμε ότι η τριάδα 3, 4, 5 ήταν ήδη γνωστή στους Αιγυπτίους, οι οποίοι μάλιστα τη χρησιμοποιούσαν για την κατασκευή ορθών γωνιών.